Grado 11 P3 - Geometría - Integrales

08.09.2022

DERIVADAS E INTEGRALES

Las derivadas y las integrales como herramientas fundamentales del cálculo, nos permite modelar todos los aspectos de la naturaleza en las ciencias físicas.

1. DEFINICIÓN

1.1. Derivada

La derivada de una función, se puede interpretar geométricamente como la pendiente de la curva de la función matemática f(x) trazada en función de x. Pero su implicación para modelar la naturaleza tiene una mayor profundidad de lo que pueda suponer esta simple aplicación geométrica. Después de todo nos podemos contemplar dibujando triángulos finitos para descubrir la pendiente, de modo que ¿por qué es tan importante la derivada?. Su importancia radica en el hecho de que muchas entidades físicas tales como la velocidad, la aceleración, la fuerza y así sucesivamente, se definen como la tasa instantánea de cambio de alguna otra cantidad. La derivada nos puede dar un valor instantáneo preciso de la tasa de cambio y nos conduce a modelar de forma precisa la cantidad deseada.

1.2. Integrales

La integral de una función se puede interpretar geométricamente como el área bajo la curva de una función matemática f(x) trazada como una función de x. Nos podemos contemplar dibujando un gran número de bloques, para aproximarnos al área bajo una curva compleja, obteniendo una mejor respuesta dibujando un mayor número de bloques. La integral nos proporciona una manera matemática de dibujar un número infinito de bloques y conseguir una expresión analítica precisa del área bajo la curva. Esto es muy importante en la Geometría y profundamente importante en las ciencias físicas, donde las definiciones de muchas entidades físicas se pueden convertir en la forma matemática de un área bajo una curva. El área de un pequeño bloque bajo la curva, se puede considerar que es el producto del ancho del bloque multiplicado por la altura ponderada del bloque. Muchas propiedades de cuerpos continuos, depende de sumas ponderadas, que para ser exactas deben ser infinitas sumas ponderadas, lo cual constituye un problema hecho a medida para resolverse por la integral. Por ejemplo, para encontrar el centro de masa de un cuerpo continuo, se implica la ponderación de cada elemento de masa multiplicado por su distancia a un eje de rotación, un proceso para el cual, si se quiere conseguir un valor preciso, se requiere a la integral. Un gran número de problemas físicos implican para sus soluciones a tales sumas infinitas, por lo que la integral es una herramienta esencial para el científico físico.

2. TIPOS DE INTEGRALES

Existen distintos tipos de integrales, y cada una tiene sus propias características particulares que dan forma a su definición y concepto, e influyen en sus usos y aplicaciones. A continuación, te hablaré en forma resumida sobre algunos de los tipos de integrales.

2.1. Integral Definida

Este tipo de integral corresponde muy bien a la definición que ya te mencioné anteriormente de una integral en general. Las integrales definidas tienen la particularidad de ser calculadas en un intervalo definido de la función.

Una integral definida representa el área que delimita una función graficada en un plano cartesiano.

Dada una función f(x) y un intervalo [a, b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x),