Grado 8 P3 - Estadística - Medidas de tendencia central, Probabilidades, Técnicas de conteo
1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Son medidas estadísticas que pretenden resumir en un solo valor a un conjunto de valores. Representan un centro en torno al cual se encuentra ubicado el conjunto de los datos. Las medidas de tendencia central más utilizadas son: media, mediana y moda.
1.1. Media Aritmética
Corresponde al promedio de todos los valores de la muestra.
La media aritmética x se obtiene adicionando todos los valores (xi . fi) y dividiendo el resultado por el número total de los datos n.
Ejemplo:
En la siguiente tabla se muestran las notas obtenidas por algunos estudiantes del grado 8, ¿cuál es la nota promedio obtenida en el salón?
Este resultado indica que, el promedio de las notas del salón es muy regular. 3,42
1.3. La Moda (Mo)
La moda de una distribución es el valor que más se repite. Cuando los datos están agrupados en clases, se halla la clase modal.
Ejemplo:
Calcular la moda de los siguientes precios de un kilo de manzanas en diferentes supermercados:
9, 11, 9, 9, 13, 11, 12
El primer paso es ordenar los datos
9, 9, 9, 11, 11, 12, 13
Vemos que el valor 9 se repite 3 veces, más que cualquier otro, por lo tanto: Mo = 9
En caso de no tener claro el tema, te invito a observar el siguiente video:
o en su defecto sigue este link interactivo:
https://www.tinytap.com/activities/g2rm9/play/medidas-de-tendencia-central
ACTIVIDAD1:
1. Calcula la moda de los siguientes datos:
a) 7, 7, 5, 3, 9, 8, 10 b) 8, 2, 5, 4, 6, 6, 6, 7
c) 2, 4, 3, 2, 3, 5, 8, 7 d) 4, 4, 4, 6, 7, 6, 6, 5, 5, 5, 8, 7, 9
2. Encontrar la media y mediana de los siguientes valores:
84; 91; 72; 68; 87; 78; 65; 87; 79.
3. Desarrollar los ejercicios del link online y enviar pantallazo de tu calificación por wp al docente:
2. EXPERIMENTO ALEATORIO, ESPACIO MUESTRAL, EVENTO Y PROBABILIDAD
Veamos ahora
la definición clásica de probabilidad, además de las definiciones de
experimento aleatorio, espacio muestral y evento o suceso.
2.1. Experimento aleatorio
Es la reproducción controlada de un fenómeno; y cuyo resultado depende del azar. Ejemplos:
- Lanzamiento de un dado.
- Lanzamiento de una moneda.
Un experimento aleatorio puede ser repetido bajo las mismas condiciones, y se puede describir el número de resultados posibles.
2.2. Espacio muestral (S)
Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
- Si se lanza un dado, el espacio muestral está compuesto por los siguientes elementos: S={1, 2, 3, 4, 5, 6}.
- Si se lanza una moneda que tiene dos caras: perro (P) y gato (G), el espacio muestral está compuesto por: S={P, G}.
- Si se lanzan dos monedas, el espacio muestral está compuesto por: S={(P, P), (P, G), (G, P), (G, G)}.
- Si se lanza un dado y una moneda, el espacio muestral está compuesto por: S={(1,P),(1,G),(2,P),(2,G),(3,P),(3,G),(4,P),(4,G),(5,P),(5,G),(6,P),(6,G)}
2.3. Evento o suceso
Conjunto de uno o más resultados del experimento aleatorio.
- Si A = {obtener un número 5 al lanzar un dado}, entonces, A={5}.
- Si B = {obtener un número mayor que 3 al lanzar un dado}, entonces, B={4, 5, 6}.
- Si C = {obtener un número par al lanzar un dado}, entonces, C={2, 4, 6}.
- Si D = {obtener al menos 1 gato al lanzar 2 monedas}, entonces, D={(P, G), (G, P), (G, G)}
2.4. Probabilidad
Probabilidad es un valor entre 0 y 1, que indica la posibilidad relativa de que ocurra un evento. El valor de la probabilidad se calcula mediante la siguiente fórmula:
Recuerda que...
- El valor de la probabilidad siempre se encuentra entre 0 y 1 (incluidos ambos números), es decir, 0 ≤ P(A) ≤1.
- La probabilidad de que ocurra un evento imposible es 0. Por ejemplo, la probabilidad de obtener un 8 al lanzar un dado numerado del 1 al 6 es 0, es decir, P(X)=0.
- La probabilidad de que ocurra un evento seguro es 1. Por ejemplo, la probabilidad de obtener un número menor que 7 al lanzar un dado numerado del 1 al 6 es 1, es decir, P(X)=1.
Ejemplo 1:
Calcular la probabilidad de obtener un 2 al lanzar un dado.
Solución:
Vamos a utilizar la fórmula de probabilidad:
El experimento consiste en lanzar un dado. Luego, definimos los resultados o casos del espacio muestral.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Definimos nuestro evento A, como obtener un 2 al lanzar un dado. Ahora, calculamos el número de casos favorables del evento A.
A = { 2 }
Ahora, empleamos la fórmula:
Si no te quedó claro el tema, te invito a observar el siguiente video:
Actividad2:
En la siguiente guía encontrarás muchísimos problemas de probabilidades, algunos de los cuáles, resolveremos juntos en los videos.
3-TÉCNICA DE CONTEO (PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN Y ADICIÓN, DIAGRAMA DEL ÁRBOL)
Las técnicas de conteo también conocida como análisis combinatorio; permite determinar el número posible de resultados lógicos que cabe esperar al realizar algún experimento o evento sin necesidad de enumerarlos todos.
Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados. Al tirar un dado, por ejemplo, hay seis posibles resultados. Si, sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales como el número de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería tedioso listar y contar todas las posibilidades. Las posibilidades serían, 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas, etc.
Algunas técnicas de conteo son:
- Diagramas de árbol
- Principio multiplicativo
- Principio aditivo
- Combinaciones (Grado 9)
- Permutaciones (Grado 9)
En este periodo solo veremos 3: Diagramas de árbol, principio multiplicativo y aditivo
3.1. Diagrama de árbol (probabilidades)
Un diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados de un experimento que tiene varios pasos. Nos permite calcular la probabilidad de que ocurra un evento de una manera muy sencilla.
Aquí tenemos un clásico diagrama de árbol, en el cual graficamos los posibles resultados de un experimento que consiste en lanzar una moneda y un dado.
b) La probabilidad de obtener solo 1 gato, se calcula sumando 2 probabilidades, ya que hay 2 maneras de obtener solo 1 gato:
- Obtener gato y perro.
- Obtener perro y gato.
Recuerda que cuando avanzamos hacia abajo, entonces
sumamos:
Actividad3:
En la siguiente guía encontrarás muchísimos problemas de probabilidades, algunos de los cuáles, resolveremos juntos en los videos.
Si no te quedó claro el tema, te invito a observar el siguiente video:
3.2. Principio multiplicativo
Es una técnica que se utiliza para resolver problemas de conteo para hallar la solución sin que sea necesario enumerar los elementos. Es conocido también como el principio fundamental del análisis combinatorio; se basa en la multiplicación sucesiva para determinar la forma en la que puede ocurrir un evento.
Este principio establece que, si una decisión (d1) puede ser tomada de n maneras y otra decisión (d2) puede tomarse de m maneras, el número total de maneras en las que pueden ser tomadas las decisiones d1 y d2 será igual a multiplicar n * m. Según el principio, cada decisión se realiza una tras otra: número de maneras = N 1 * N 2 ... * N x maneras.
Ejemplo 3.
Calcular cuántos números enteros diferentes de tres dígitos se pueden formar con los dígitos 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 si los dígitos no pueden repetirse.
Solución.
Se trata de un número de tres dígitos
Necesitamos un dígito para las centenas que puede ser cualquiera de los siete dígitos dados, después un dígito para las decenas que puede elegirse entre los seis dígitos restantes, finalmente el dígito de las unidades se elegirá de los cinco últimos dígitos.
Aplicando el Principio multiplicativo, tendremos:
7 · 6 · 5 = 210 números distintos
Ejemplo 4.
¿Qué pasa si los dígitos pueden repetirse?
Solución.
Si los dígitos pueden repetirse, significa que en la casilla de las centenas puede ir cualquiera de los 7 dígitos; también en la casilla de las decenas puede ir cualquiera de los 7 dígitos ( se pueden repetir) y por último en la casilla de las unidades también puede ir cualquiera de los 7 dígitos. De modo que se pueden obtener:
7 · 7 · 7 = 343 números
3.3. Principio aditivo
Si un evento «A» se puede realizar de «m» maneras diferentes, y otro evento «B» se puede realizar de «n» maneras diferentes, además, si ocurre uno no puede ocurrir el otro, entonces, el número de maneras en que puede ocurrir el evento «A» o el evento «B» es: (m + n) formas. Es decir, aquí ocurre «A» o ocurre «B». El «o» indica suma.
Observación. Un evento o suceso ocurre de una forma o de otra, más no de ambas formas a la vez (no sucede en simultáneo)
Ejemplo.
Se desea cruzar un río, para ello se dispone de 3 botes, 2 lanchas y 4 planchones. ¿De cuántas formas se puede cruzar el río utilizando los medios de transporte señalados?
Solución.
Observe que sólo es necesaria una de las tantas opciones que tiene para cruzar el río, ninguna depende de la otra, es decir, tiene 3 opciones (en bote) más 2 opciones (en lancha) y 4 opciones (en planchón).
Tiene entonces: 3 + 2 + 4 = 9 opciones para cruzar el río.
Actividad4:
En la siguiente guía encontrarás muchísimos problemas de probabilidades, algunos de los cuáles, resolveremos juntos en los videos.
Si no te quedó claro el tema, te invito a observar el siguiente video: